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La petite histoire Up Page
Prémices Turbulences, fluctuations, oscillations aléatoires, phénomènes complexes non maîtrisables: une population animale, l'écoulement d'un fluide, un organe biologique, un faisceau de particules, un orage atmosphérique, une économie nationale, autant de systèmes instable où en 1950 on classait sous l'appellation "commande de Chaos", et là s'arrêtait la science.
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Comprendre simplement Up Page
Les irrégularités de la nature L'écoulement turbulent des fluides, les retournements du champ magnétique de la Terre, les irrégularités du rythme cardiaque, les règles de convection de l'hélium liquide, la chute des corps célestes, les lacunes dans la ceinture d'astéroïdes, la croissance des populations d'insectes, un robinet qui fuit, la progression d'une réaction chimique, le métabolisme cellulaire, les modifications du climat, la propagation de l'influx nerveux, les oscillations des circuits électroniques, le mouvement d'un bateau amarré à une bouée, le rebond d'une boule de billard, les collisions des atomes dans un gaz, l'incertitude sous jacentes à la mécanique quantique _ voilà quelqus uns des problèmes auxquels les mathématiques du chaos ont été appliquées.
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Domaines de présence Up Page
Système dynamique Dans les années 70, quelques scientifiques français et américains ont commencé à explorer le chaos. A la surprise générale, celui-ci s'est révélé gouverné par un ordre dynamique qui a permis d'expliquer bien des phénomènes naturels jusqu'ici totalement incompréhensibles. Un système dynamique est un système physique qui évolue. Il peut évoluer dans le temps ou par rapport à une autre variable suivant l'"espace de phases" considéré.
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Son interprétation dans l'avenir Up Page
Modèle déterministe, modèle stochastique ou modèle chaotique ? On peut différencier trois sortes de systèmes dynamiques, les systèmes aléatoires (aussi appelés systèmes stochastiques), les systèmes déterministes et les systèmes chaotiques. Les "systèmes aléatoires" évoluent comme leur nom l'indique au hasard dans tout l'espace sans qu'aucune équation ne les régisse, sans qu'aucune prévision exacte soit possible dans le temps. Les "systèmes déterministes" sont des systèmes régis par des lois mathématiques bien connues, on peut donc prévoir exactement l'évolution de ces systèmes dans le temps. Les "systèmes chaotiques", quant à eux, ont un comportement infiniment complexe. Ils sont irrésistiblement attirés par une figure géométrique de structure également infiniment complexe sur laquelle ils semblent errer au hasard, mais sans jamais la quitter, ni repasser deux fois par le même point. Les attracteurs qui caractérisent ces systèmes, semblent inclure à la fois des lois déterministes et des lois aléatoires, ce qui rend impossible toute prévision à long terme impossible.
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Les références Up Page
Réseau Pepe BE Roumanie 18 février 2009 n°2 Dieu joue-t-il aux dés ? Ian Stewart Loïc Fontaine Quelques éléments sur la théorie du chaos Théorie du chaos James Gleick Pourquoi ce site Je crois que, si les êtres humains que nous sommes ne parviennent pas toujours à évoluer comme ils le souhaiteraient _à s'épanouir professionnellement, sentimentalement et sexuellement (ce que j'appelle les trois pôles d'intérêts) c'est parce qu'il y a des barrages qui entravent leur désir d'accéder à un rêve inachevé. Je pars du principe que tout est possible, à condition de s'entourer de gens qui nous poussent à croire en nous. Contribuer au Réseau Pepe Ce site est avant tout une encyclopédie ouverte à l'imagination et au savoir, où chacun(e) d'entre vous peut participer. Si vous avez envie de partager une passion, ou si vous sentez le besoin de vous exprimer sur un point précis, je vous invite à m'adresser un e-mail (adresse électronique accessible sur ma page d'accueil).
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Domaine d'application Up Page
Espace des phases Il est possible de suivre l'évolution de l'état d'un système physique dans le temps. Pour cela, on construit d'abord un modèle avec les lois physiques et les paramètres nécessaires et suffisants pour caractériser le système. Ce modèle est bien souvent constitué par des équations différentielles. On définira, à un instant donné, un point dans un "repère". Ce point caractérisera l'état du système dans l'espace à cet instant. Cet espace est appelé "l'espace des phases". Lorsque la variable d'évolution change de valeur (quand le temps s'écoule, par exemple), le point figurant l'état du système décrit en général une courbe dans cette espace. Il faut bien comprendre qu'il n'existe aucune relation entre un cas d'image à trois dimensions et notre espace de phases tridimensionnel. Il s'agit là d'un espace purement mathématique qui comporte autant de dimensions qu'il y a de paramètres dans le système dynamique étudié. Ainsi on pourrait très bien imaginer se retrouver à manipuler un espace de phases à 216 dimensions, si le système dynamique analysé implique 216 paramètres (toute difficulté géométrique mise à part...). Dans l'espace des phases, la position d'une balle de tennis est déterminée non pas par les trois coordonnées spatiales, mais aussi par trois coordonnées de vitesses : la vitesse de haut en bas, celle de droite à gauche, celle d'avant en arrière (ou vice versa). Il faut donc six dimensions pour décrire totalement une balle de tennis. Prenons par exemple un système à 3 dimensions : x, y et z. On va pouvoir tracer 3 graphiques dans l'espace des phases à 2 dimensions : _ en fonction de x et de y; _ en fonction de x et de t; _ en fonction de y et de t.
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Domaines de présentation Up Page
Espace des phases en image 
On considérant un espace des phases à 3 dimensions, on ne peut tracer ici qu'un graphique.
Le système (a) converge vers un état d'équilibre après maintes oscillations, ce qui correspond dans l'espace des phases à des boucles qui convergent vers un point. Le système (b) se répète périodiquement, ce qui correspond dans l'espace des phases à une orbite cyclique. Le système (c) a également un mouvement périodique mais plus complexe; il se répète seulement après trois oscillations différentes : on dit qu'il possède un cycle de période 3. Cela correspond à des boucles plus compliquées dans l'espace des phases. Le système (d) est chaotique, et dans l'espace des phases, il possède la forme en aile de papillon de l'attracteur étrange de Lorenz.
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Domaines de définitions Up Page
Attracteur étrange 
L'attracteur étrange est une représentation d'un système chaotique dans un espace
de phases bien précis, mais on peut trouver des attracteurs dans beaucoup de systèmes
dynamiques non chaotiques également.
On distingue trois types d'attracteurs : _ Le cercle - limite : Il caractérise un système atteignant un état répétitif. Plus explicitement, prenons un cerceau qu'un enfant ferait tourner infiniment autour de sa taille, lorsqu'il le lance le cerceau a une trajectoire imparfaite, mais il prend de la vitesse et au bout d'un moment, sa trajectoire va se stabiliser et former des cercles parfaits, il aura atteint son état répétitif. _ L'attracteur étrange : L'attracteur le plus étrange des attracteurs car il décrit les systèmes chaotiques. L'attracteur étrange désigne une figure dans l'espace représentant le comportement d'un système dynamique. L'attraction des trajectoires autour de l'attracteur est liée au caractère chaotique du système réel. Par exemple : le mouvement de la Terre par rapport au soleil est un système périodique. D'après les lois de Newton, nous connaissons parfaitement les futurs mouvements de notre planète; seulement à l'échelle de l'univers, ces lois sont fausses car elles ne tiennent pas compte de tout les paramètres entrant réellement en jeu. Mais la Terre se retrouve néanmoins régulièrement dans les mêmes états par rapport au soleil. Les points représentant ces états finirons par décrire une figure; cette figure constitue l'attracteur de ce système. Quel que soit l'état initial de la planète, les points définissant ses différents états décrirons finalement toujours cette figure. L'attracteur du système de Lorenz appelé aussi le papillon de Lorenz. C'est le plus connu et le premier des attracteurs étudiés, il en existe beaucoup d'autre aux formes très étranges.
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Ce que vous avez toujours voulu savoir Up Page
Contrôler le chaos Janvier 2009, des chercheurs roumains et indiens montre qu'il est possible de contrôler des signaux chaotiques mais aussi de les amplifier. L'amplification d'un signal chaotique pourrait avoir aussi des applications extrêmement utiles dans les communications. La dynamique chaotique a été depuis toujours présenté en biologie, physique, chimie ou sociologie et les chercheurs scientifiques ont en permanence cherché à comprendre la mathématique qui décrit ces systèmes, en espérant un possible contrôle ultérieur. Cependant il existe la possibilité de contrôler les signaux chaotiques mais aussi de les amplifier. Cela pourrait sembler totalement indésirable (personne ne souhaite amplifier le niveau de bruit dans un circuit, par exemple), une analyse plus détaillée pourrait suggérer que l'amplification d'un signal chaotique peut avoir des applications extrêmement utiles.
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